CM (1-x)^n + (1+x)^n ≤ 2^n ( *) với mọi n thuộc N* và |x| <= 1

giải:Đặt 1 - x = a va 1+x = b => a + b = 2 > 0 và a ≥ 0, b ≥ 0
cần cm: a^n + b^n ≤ ( a +b)^n với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 và n thuộc N*
Với n = 1, VT = 2 = VP
Với n = 2, VT = (1-x)² + (1+x)² = 2(1 + x²) ≤ 4 = 2² ( do x ≤ 1)
GS BDT ( *) đúng đến n = k >= 2 => a^k + b^k ≤ (a+b)^k
Ta cần CM BDT đúng đến n= k +1, tức là (a+b)^(k+1) ≥ a^(k+1) + b^(k+1). Thật vậy
(a+b)^(k+1) = (a+b)( a+b)^k ≥ (a^k+ b^k )(a +b) = a^(k+1) + b^(k+1) + a^k.b + b^k. a ≥ a^(k+1) + b^(k+1)
Quy nạp đã xong, BDT (*) được chứng minh hoàn toàn
Vậy BDT (*) đúng với mọi n thuộc N* và |x| <=1

(Các) nguồn